Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

(Trung bình) Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất độc lập. Dây chuyền I sản xuất 60% tổng sản phẩm, trong đó tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền II sản xuất 40% tổng sản phẩm, với tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ nhà máy. Xác suất để sản phẩm này là sản phẩm lỗi là bao nhiêu?

(Dễ – Lý thuyết) Cho hai biến cố A và B, với $P(A) > 0$ và $P(B) > 0$. Công thức xác suất toàn phần của biến cố B theo hệ đầy đủ $\{A, \bar{A}\}$ được phát biểu là:

(Trung bình) Tỷ lệ người dân nhiễm một loại virus trong một vùng dân cư là 2%. Một loại xét nghiệm y tế có độ chính xác như sau: nếu một người bị nhiễm virus, xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất 98%; nếu một người không bị nhiễm, xét nghiệm vẫn có thể cho kết quả dương tính với xác suất 3%. Một người dân trong vùng được chọn ngẫu nhiên và có kết quả xét nghiệm dương tính. Xác suất người đó thực sự bị nhiễm virus là bao nhiêu? (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)

(Dễ) Trong một kỳ thi, có 70% thí sinh đỗ môn Toán, 60% thí sinh đỗ môn Lý. Trong số các thí sinh đã đỗ môn Toán, xác suất đỗ môn Lý là 80%. Một thí sinh được chọn ngẫu nhiên. Xác suất thí sinh đó đỗ cả hai môn Toán và Lý là:

(Trung bình) Một lớp học có 55% học sinh là nữ. Tỷ lệ học sinh nữ đạt loại giỏi là 20%, trong khi tỷ lệ này ở học sinh nam là 30%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Biết rằng học sinh được chọn là học sinh giỏi, xác suất học sinh đó là nam bằng bao nhiêu? (làm tròn đến 3 chữ số thập phân)

(Dễ – Lý thuyết) Công thức Bayes cho phép chúng ta:

(Trung bình) Có hai hộp đựng bi. Hộp I chứa 4 bi xanh và 6 bi đỏ. Hộp II chứa 5 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp II. Tính xác suất để bi lấy ra từ hộp II là bi xanh.

(Khó) Vẫn với tình huống ở Câu 7, giả sử bi lấy ra từ hộp II là bi xanh. Tính xác suất để bi đã được chuyển từ hộp I sang hộp II cũng là bi xanh.

(Dễ) Một công ty bảo hiểm phân loại khách hàng thành hai nhóm: “rủi ro cao” và “rủi ro thấp”. 30% khách hàng thuộc nhóm “rủi ro cao”. Xác suất để một khách hàng “rủi ro cao” gặp tai nạn trong năm là 0.4, trong khi xác suất này của khách hàng “rủi ro thấp” là 0.1. Tính xác suất để một khách hàng ngẫu nhiên sẽ gặp tai nạn trong năm.

(Trung bình) Một hệ thống lọc thư rác có hiệu quả như sau: 95% các thư rác bị chặn lại. Tuy nhiên, hệ thống cũng chặn nhầm 1% các thư hợp lệ. Biết rằng 80% thư điện tử nhận được là thư hợp lệ. Nếu một thư bị hệ thống chặn lại, xác suất nó thực sự là thư rác là bao nhiêu?

(Dễ – Lý thuyết) Trong công thức Bayes, $P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}$, đại lượng $P(B)$ thường được gọi là:

(Trung bình) Một người nông dân trồng hai loại cây: cà chua và khoai tây. 65% diện tích đất được dùng để trồng cà chua. Xác suất cây bị sâu bệnh đối với cà chua là 10% và đối với khoai tây là 15%. Chọn ngẫu nhiên một cây trong vườn. Biết cây đó bị sâu bệnh, xác suất nó là cây khoai tây là:

(Dễ) Gieo một con xúc xắc cân đối. Gọi A là biến cố “Mặt xuất hiện là số chẵn” và B là biến cố “Mặt xuất hiện là số lớn hơn 3”. Tính $P(A|B)$.

(Trung bình) Một cầu thủ bóng rổ có xác suất ném trúng rổ trong mỗi lần ném là 0.8. Tuy nhiên, nếu lần trước ném trượt, tâm lý anh ta bị ảnh hưởng và xác suất ném trúng ở lần tiếp theo chỉ còn 0.6. Biết rằng ở lần ném đầu tiên, xác suất ném trúng là 0.8. Tính xác suất anh ta ném trúng ở lần ném thứ hai.

(Dễ – Lý thuyết) Điều kiện cần để áp dụng công thức xác suất toàn phần $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i)P(A|B_i)$ là:

(Trung bình) Một kho hàng chứa các linh kiện từ hai nhà cung cấp X và Y. 70% linh kiện là từ X và 30% là từ Y. Tỷ lệ hỏng của linh kiện từ X là 1% và từ Y là 4%. Kiểm tra ngẫu nhiên một linh kiện và thấy nó bị hỏng. Xác suất linh kiện đó đến từ nhà cung cấp Y là:

(Dễ) Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm. Biết rằng sản phẩm thứ nhất lấy ra là chính phẩm, xác suất để sản phẩm thứ hai cũng là chính phẩm là:

(Khó) Một bài kiểm tra trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Một học sinh giỏi có xác suất 0.9 biết câu trả lời đúng. Nếu không biết, học sinh đó sẽ chọn ngẫu nhiên một trong 4 phương án. Giả sử học sinh đó đã trả lời đúng một câu hỏi. Xác suất mà học sinh đó thực sự biết câu trả lời là:

(Trung bình) Khảo sát 100 người về việc sử dụng hai mạng xã hội A và B cho thấy: 40 người dùng A, 30 người dùng B, 15 người dùng cả hai. Chọn ngẫu nhiên một người, biết người đó dùng mạng xã hội B, xác suất người đó cũng dùng mạng xã hội A là:

(Dễ) Trong một lớp học, 40% học sinh giỏi Toán, 30% học sinh giỏi Văn. Trong số học sinh giỏi Toán, có 50% giỏi cả Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh giỏi Toán, xác suất em đó không giỏi Văn là:

(Trung bình) Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của mỗi người lần lượt là 0.6, 0.7, và 0.8. Biết rằng có đúng hai người bắn trúng. Xác suất người thứ nhất đã bắn trượt là bao nhiêu?

(Trung bình – Lý thuyết) Sơ đồ hình cây là một công cụ trực quan hữu ích để mô tả và tính toán trong các bài toán xác suất. Mỗi nhánh đi ra từ một nút (không phải nút gốc) trên sơ đồ hình cây biểu diễn:

(Trung bình) Một công ty có hai phòng ban: Kỹ thuật và Kinh doanh. Phòng Kỹ thuật có 20 nhân viên, trong đó có 5 nữ. Phòng Kinh doanh có 30 nhân viên, trong đó có 18 nữ. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên của công ty. Biết rằng nhân viên được chọn là nữ, xác suất người đó thuộc phòng Kỹ thuật là: